Exemple de la methode de cholesky

Dans l`algèbre linéaire, la décomposition de Cholesky ou la factorisation Cholesky (prononcée/ʃ-/) est une décomposition d`une matrice hermitienne, positive-définie dans le produit d`une matrice triangulaire inférieure et de sa transposition conjuguée, qui est utile pour l`efficacité solutions numériques, e. L`argument n`est pas entièrement constructif, i. Pour ces raisons, la décomposition du LDL peut être préférée. Ce poste adopte une approche similaire à cette implémentation. Cependant, la décomposition ne doit pas être unique quand A est positive semi-définie. Cela implique des produits matriciels et une inversion explicite, limitant ainsi la taille de bloc pratique. Ainsi (l_ {k-1} ) représente le coin supérieur gauche de (k-1 times k-1 ) de (L ). Nous pouvons également afficher l`identité (A = LL ^ T ) avec le résultat. Cela implique à son tour que, puisque chaque L k {displaystyle mathbf {L} _ {k}} est inférieur triangulaire avec des entrées diagonales non négatives, L {displaystyle mathbf {L}} est également. Donc (L k) k {displaystyle left (mathbf {L} _ {k} right) _ {k}} tend à L {displaystyle mathbf {L}} en Norm signifie (L k) k {displaystyle left (mathbf {L} _ {k} right) _ {k}} tend à L {displaystyle mathbf {L}} entrywise. Pour un exemple simplifié qui montre l`économie que l`on obtient de la décomposition Cholesky, disons qu`il faut générer deux variables normales corrélées x 1 {displaystyle x_ {1}} et x 2 {displaystyle x_ {2}} avec le coefficient de corrélation donné ρ {displaystyle rho}.

Nous répétons ceci pour i de 1 à n. Pour une analyse numérique plus sérieuse, il existe une fonction de décomposition Cholesky dans le paquet hmatrix. Il suppose que l`option base 0 est définie, et donc les indices d`entrée de matrice doivent être ajustés si base est définie sur 1. Utilisez la décomposition Cholesky de l`exemple 1 pour résoudre MX = b pour x lorsque b = (55,-19, 114) T. calculer utiliser la substitution avant pour résoudre y en ly = b. Récupérée de http://www. La variante LDL, si elle est implémentée efficacement, nécessite le même espace et la complexité computationnelle à construire et à utiliser, mais évite d`extraire les racines carrées. Malheureusement, les nombres peuvent devenir négatifs en raison des erreurs arrondies, auquel cas l`algorithme ne peut pas continuer. Nous utilisons l`algorithme Cholesky – Banachiewicz décrit dans l`article de wikipedia. Un souci avec la décomposition de Cholesky pour être conscient de est l`utilisation des racines carrées. La méthode est employée dans une variété d`applications telles que l`analyse multivariée en raison de sa nature relativement efficace et la stabilité.

Ceci est illustré ci-dessous pour les deux exemples demandés. Nous avons défini x 1 = z 1 {displaystyle x_ {1} = z_ {1}} et x 2 = ρ z 1 + 1 − ρ 2 z 2 {displaystyle x_ {2} = rho z_ {1} + {sqrt {1-rho ^ {2}}} z_ {2}}. Comment pouvons-nous nous assurer que toutes les racines carrées sont positives? Étant donné que l`espace vectoriel sous-jacent est de dimension finie, toutes les topologies sur l`espace des opérateurs sont équivalentes. L`un ou l`autre modèle d`accès permet à l`ensemble du calcul d`être effectué sur place si désiré. Ici | | · | | 2 est la matrice 2-Norm, CN est une petite constante en fonction de n, et ε indique l`unité arrondir. La décomposition Cholesky et d`autres méthodes de décomposition sont importantes car il n`est pas souvent possible d`effectuer des calculs matriciels explicitement. Let {H n} {displaystyle {{mathcal {H}} _ {n} }} être une séquence d`espaces Hilbert. L`algorithme de décomposition calcule les lignes dans l`ordre de haut en bas, mais est un peu différent thatn Cholesky – Banachiewicz. Il suffit de générer deux variables aléatoires gaussiennes non corrélées z 1 {displaystyle z_ {1}} et z 2 {displaystyle z_ {2}}. Conséquemment, on peut soupçonner qu`il peut aussi être possible d`écrire M = LLT au lieu d`écrire M = LU, comme nous l`avons vu dans le sujet sur la décomposition LU.

La factorisation de Cholesky peut être généralisée [citation nécessaire] à des matrices (pas nécessairement finies) avec des entrées d`opérateur. Nous définissons la matrice (A ) comme suit. Compte tenu de la matrice n × n réelle, symétrique et diagonalement dominante M, trouver une décomposition M = LLT où L est une véritable matrice inférieure-triangulaire. Le cas spécifique, où la matrice mise à jour A ~ {displaystyle {tilde {mathbf {A}}}} est liée à la matrice A {displaystyle mathbf {A}} par A ~ = A + x x ∗ {displaystyle {tilde {mathbf {A}}} = mathbf {A} + mathbf {x} mathbf {x} ^ {*}}, est connu comme un rang-un updat E.

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